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第二部　組合的數學

9　CAPM 與 beta

作者：全書章節

如果（一）所有人都照第 8 章那樣行動、（二）所有人對 μ 和 Σ 的看法一致、（三）沒有稅與交易成本，那麼所有人持有的切點組合必須加總等於市場上所有資產的總和。換句話說，切點組合就是市值加權的市場組合。這一步就是 CAPM 的全部內容。

9.1　證券市場線的推導

考慮把權重 x 放在資產 i、(1−x) 放在市場組合 M，得到組合 q：

μq=xμi+(1−x)μMσq2=x2σi2+(1−x)2σM2+2x(1−x)σiM\mu_q = x\mu_i + (1-x)\mu_M \qquad \sigma_q^2 = x^2\sigma_i^2 + (1-x)^2\sigma_M^2 + 2x(1-x)\sigma_{iM}

在 x = 0 處求導：dμqdx=μi−μM;dσqdx=σiM−σM2σM\frac{d\mu_q}{dx} = \mu_i - \mu_M \quad ; \quad \frac{d\sigma_q}{dx} = \frac{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}{\sigma_M}

故邊際替換率 dμ/dσd\mu/d\sigma 在 x=0 處 = (μi−μM)σMσiM−σM2\frac{(\mu_i - \mu_M)\sigma_M}{\sigma_{iM} - \sigma_M^2}

均衡時此值須等於 CML 斜率 μM−rfσM\frac{\mu_M - r_f}{\sigma_M}，整理得：

E[Ri]=rf+βi(E[RM]−rf),βi=σiMσM2\mathbb{E}[R_i] = r_f + \beta_i\left(\mathbb{E}[R_M] - r_f\right) \quad , \quad \beta_i = \frac{\sigma_{iM}}{\sigma_M^2}

這條式子叫證券市場線（SML）。它說的事情極為深刻：一個資產的期望報酬，完全由它與市場的共變異數決定，跟它自己的總波動無關。個別波動（idiosyncratic risk）可以被分散掉，市場不會為它付錢。

對應 §9.1

9.2　beta 的兩種讀法

β 同時是（一）迴歸 Ri−rf=α+β(RM−rf)+εR_i - r_f = \alpha + \beta(R_M - r_f) + \varepsilon 的斜率，與（二）資產對組合總風險的邊際貢獻。第二種讀法更本質：把 σp2\sigma_{p}^2 對 wiw_{i} 微分，會得到 2Cov⁡(Ri,Rp)2\operatorname{Cov}(R_i, R_p)，也就是說加一塊錢進某資產所增加的組合風險，正比於它與組合的共變異數。

兩種讀法都指向同一件事：β 量的是「跟市場一起動多少」，不是「自己動多大」。這個區別在實務上被混用得很嚴重，因為兩者在中文裡常被同一個詞（「波動」）帶過。把迴歸式的變異數取出來就清楚了：

σi2=βi2σM2+σε2\sigma_i^2 = \beta_i^2\sigma_M^2 + \sigma_\varepsilon^2

前一項是系統風險（會被定價），後一項是殘差風險（在分散的組合裡會被消掉，因此不被定價）。

以 σM\sigma_{M} = 20%、β = 0.8 為例：系統部分是 0.8 × 20% = 16%。若這家公司自己的殘差波動 σε=15%\sigma_\varepsilon = 15\%，則 σi=162+152≈21.9%\sigma_i = \sqrt{16^2 + 15^2} \approx 21.9\%。

β 只有 0.8，總波動卻高於市場的 20%。

這在集中持股的控股公司、單一產業龍頭、以及任何自帶營運或財務槓桿的企業身上是常態。對持有整個市場的人來說，這不是問題——殘差被別的持股抵銷掉了，所以 §9.1 只補償 β。但對只買一檔、又要對它施加槓桿的人來說，這是個關鍵區別：§2 的波動拖累與 §25 的 (k2−k)σ2/2(k^2-k)\sigma^2/2 吃的是 σi\sigma_{i}，不是 β。低 β 不會替持有人省下任何一分衰減。§25.13 會把這件事算到底。