16　均異最佳化為什麼會失敗

第 7 章給了漂亮的封閉解 $\mathbf{w}^* = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\lambda\boldsymbol{\mu} + \gamma\mathbf{1}\right)$。把歷史資料代進去，會得到一組看起來很專業的權重。然後它們會在樣本外表現得很糟。原因有三層。

16.1　誤差最大化機器

最佳化程序的工作是「找出風險報酬比最好的資產並重壓」。但它只能看到帶著誤差的 μ̂ = μ + 誤差，真實的 μ 並不可見。於是那些因為運氣好而估計值偏高的資產，正好會被最佳化器選中重壓。Michaud 因此稱之為「誤差最大化器」（error maximizer）。

量化一下敏感度。期望報酬的標準誤為 $\operatorname{SE}(\hat{\mu}) = \sigma/\sqrt{T}$。以 σ = 20%、T = 30 年計算，SE ≈ 3.65%。也就是說，用三十年資料估出來的股票期望報酬，95% 信賴區間大約有 ±7 個百分點寬。而權重解裡的 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 會進一步放大這個誤差：當資產之間高度相關時，Σ 接近奇異，其反矩陣的元素會爆炸。

這就是為什麼未加限制的均異最佳化幾乎總是吐出「這個資產 180%、那個資產 −80%」這種答案。它不是模型壞掉，它是模型忠實地反映了輸入資料裡的雜訊。

「180% 對 −80%」這個說法可以驗證，而且驗證的結果比它更難看。拿 French 的六個規模 × 淨值市價比組合，每 12 個月用前 60 個月重估一次未加限制的切點組合，把每一次的毛曝險（所有權重絕對值的總和，1 代表不放空也不加槓桿）畫出來：

樣本均異（無限制）最小變異

九十五次重估裡，毛曝險的中位數是 12.2 倍，最高 131 倍，有 81 次超過 5 倍。要記住縱軸是對數的：這條線不是在 1 到 2 之間晃，是在一個數量級以上的範圍裡跳。

關鍵在於資料本身沒有這麼極端。這六個組合都是分散的美國股票組合，年報酬與波動都在正常範圍內，彼此的相關係數也都在 0.8 以上。暴衝的不是輸入，是 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$：資產越相關，Σ 越接近奇異，反矩陣就把估計誤差放得越大。最佳化器讀到「A 和 B 幾乎一樣，但 A 的樣本平均高了 0.3 個百分點」，於是做多 A、放空 B，而那 0.3 個百分點多半是雜訊。

對照組同樣有說服力：只需要 Σ、完全不碰 μ 的最小變異組合，毛曝險中位數是 3.8 倍——仍然不小，但少了一個數量級；而什麼都不估的等權重恆為 1。要估的東西越少，權重就越安分。第 17 章把這句話變成一張可以比較的表。

16.2　誤差的相對嚴重性

Chopra 與 Ziemba (1993) 的經典結果：對投資人效用損失的貢獻，期望報酬的估計誤差約為變異數誤差的 11 倍、共變異數誤差的 21 倍（在中等風險趨避下）。實務結論非常明確：

16.3　前緣是平的

最後一個安慰：回頭看圖 5-1 與圖 7-1，效率前緣在中段非常平坦。這代表在 40/60 到 70/30 之間，不同配置的風險報酬差異其實很小。不需要找到「最佳」配置，只需要避開明顯很爛的配置（例如 100% 單一國家、100% 現金、或高費用的複雜產品）。這個觀察比任何最佳化演算法都有價值。