現在加入一個報酬確定為 r f r_f r f
μ = r f + α ( μ P − r f ) σ = α σ P ⇒ μ = r f + μ P − r f σ P σ \mu = r_f + \alpha(\mu_P - r_f) \qquad \sigma = \alpha\sigma_P \qquad \Rightarrow \qquad \mu = r_f + \frac{\mu_P - r_f}{\sigma_P}\,\sigma μ = r f + α ( μ P − r f ) σ = α σ P ⇒ μ = r f + σ P μ P − r f σ 這是一條直線，斜率就是夏普比率 S P = μ P − r f σ P S_P = \frac{\mu_P - r_f}{\sigma_P} S P = σ P μ P − r f ( 0 , r f ) (0, r_f) ( 0 , r f ) 切點組合 （tangency portfolio）。這條直線就是資本市場線 （CML）。
切點組合的權重可以直接解出。最大化 S ( w ) = w T μ − r f w T Σ w S(\mathbf{w}) = \frac{\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\mu} - r_f}{\sqrt{\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}}} S ( w ) = w T Σ w w T μ − r f
w tan = Σ − 1 ( μ − r f 1 ) 1 T Σ − 1 ( μ − r f 1 ) \mathbf{w}_{\text{tan}} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} - r_f\mathbf{1})}{\mathbf{1}^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu} - r_f\mathbf{1})} w tan = 1 T Σ − 1 ( μ − r f 1 ) Σ − 1 ( μ − r f 1 ) 這個結果帶來托賓兩基金分離定理 ：所有投資人，不管風險偏好多不同，都應該持有同一個 風險資產組合（切點組合），差別只在於他把多少錢放在無風險資產上。風險偏好只影響 α，不影響風險資產內部的比例。
可能會有的反駁
「所以保守的人不該持有較保守的股票組合，而是持有一樣的股票組合、只是少一點？」 在理論的假設下，是的。這其實是一個很有用的實務指引：不要用「換成比較穩的股票」來降低風險，而是用「降低股票整體比重」。前者往往同時降低了期望報酬與分散度，後者是乾淨的沿著 CML 移動。
「但我借不到 r f r_f r f 對，這是兩基金分離失效的第一個現實裂縫。借款利率高於存款利率時，CML 會在切點處折彎，於是積極型 投資人的最適風險組合會偏離切點、往高 beta 資產傾斜。這正是「beta 異常」（低 beta 股票長期表現優於 CAPM 預測）的主流解釋之一，見第 9 章。
「無風險資產真的存在嗎？」 名目上有（短期公債），實質上沒有。唯一接近實質無風險的是期限與負債匹配的抗通膨公債（TIPS）。第 19、20 章會用到這個概念。
8.1 風險趨避到底是什麼：把 α 解出來
兩基金分離定理說「風險偏好只影響 α」，但 α 到底該是多少？這需要一個效用函數。標準的做法是假設常數相對風險趨避（CRRA）：
U ( W ) = W 1 − γ 1 − γ ( γ 為風險趨避係數 ) U(W) = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma} \qquad (\gamma \text{ 為風險趨避係數}) U ( W ) = 1 − γ W 1 − γ ( γ 為風險趨避係數 ) 最大化期望效用，以二階展開後對 α 微分令零：
α ∗ = μ P − r f γ σ P 2 \alpha^* = \frac{\mu_P - r_f}{\gamma\sigma_P^2} α ∗ = γ σ P 2 μ P − r f 以 μ − r f = 5 % \mu - r_f = 5\% μ − r f = 5%
請把這條式子與第 25.2 節的凱利公式 k ∗ = μ − r f σ 2 k^* = \frac{\mu - r_f}{\sigma^2} k ∗ = σ 2 μ − r f 它們是同一條式子，只差一個 γ。 凱利就是 γ = 1（對數效用）的特例——這也是為什麼凱利解對大多數人來說大得離譜：實證上一般人的 γ 落在 2 到 5 之間，所以合理的股票曝險本來就在 30–60% 這個區間。「半凱利」這個實務法則其實就是 γ = 2。
這個推導也把第 19 章的實務建議接上了理論：伯恩斯坦的「可忍受虧損 × 2 + 10%」看起來是一條拍腦袋的規則，但它實際上就是在問自己的 γ——只不過用「能看著帳戶跌多少而不賣」這個人類看得懂的問法，代替了「自己的相對風險趨避係數是多少」這種沒人答得出來的問題。
打個比方
兩基金分離像餐廳只賣一道菜，但可以選份量。廚師已經把食材搭配到最好了（切點組合），胃口小的人不該把菜重新搭一遍，而是點半份、剩下的預算拿去存起來 。實務上的意思是：不要用「換成比較穩的股票」來降風險，而是用「降低股票整體比重」。前者通常同時損失了分散度與期望報酬，後者是乾淨地沿著 CML 移動。
這個比喻在哪裡失真： 餐廳的廚師知道食材的真實品質；市場不知道未來的 μ 與 Σ。所以現實中的「切點組合」只能用市值加權來代理（§9、§17）。
8.2 一個實務上的漂亮案例：該用公司債還是國庫債？
公司債的報酬比國庫債高，波動也高一點。看起來像是「多承擔一點風險換多一點報酬」的合理交易。但把它們各自與股票混合，畫出兩條前緣，會發現一件事：
股票搭配公債與搭配公司債的兩條效率前緣 折線圖。兩條前緣分別是股票搭配十年期公債、以及股票搭配 Baa 級公司債，從 100% 債券到 100% 股票。股票權重拉高之後兩條線幾乎重合；純債券那一端公司債看起來甚至更好（報酬 6.8% 對 5.3%，標準差 9.4% 對 10.2%）。真正的差別藏在相關係數裡：公債對股票 0.03，公司債 0.39。均值—變異把這三個數字混成一條曲線，因此看不出「什麼時候跌」。 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 18% 股票 + 十年期公債 股票 + Baa 公司債 年化標準差 年化期望報酬 Yu Lab · yulab.tw 圖 8-1a 把公債換成 Baa 公司債，兩條前緣在大部分區段幾乎重合，純債券那一端的公司債甚至看起來更好。在均值—變異的框架裡，這兩個選擇看起來是同一件事——而且這張圖對公司債已經偏寬容：用殖利率重建的報酬沒有扣掉違約與降評損失。 資料來源：同 f05-01；公司債以 Moody's Seasoned Baa Corporate Bond Yield [BAA]（經 FRED 取得）按存續期間 8 重建年度總報酬，μ、σ 與對股票的相關係數皆由該序列估計。 兩條線幾乎重合，純債券那一端的公司債甚至更討喜一點。均值—變異這個框架只看得到 μ、σ 與 ρ，而它把公司債較高的報酬、較低的波動與較高的股票相關混成同一條曲線。差別不在這張圖上——要看實際的危機月份才看得到：
2008 年壓力月份中三種債券的重建總報酬 以票息收入減去存續期乘上殖利率變動，重建 2008 年 9–10 月的債券總報酬。公債上漲，信用品質越低的公司債跌得越多。 −14% −12% −10% −8% −6% −4% −2% 0% 2008 年 9–10 月 10 年期公債 Aaa 公司債 Baa 公司債 重建總報酬 Yu Lab · yulab.tw
圖 8-1 同一組債券在 2008 年 9–10 月的重建總報酬。公債上漲，公司債隨信用品質降低而逐步轉弱：前一張圖上分辨不出的差別，在真正需要緩衝的那兩個月才會出現。 資料來源：同上。 檢查維度 10 年期公債 Aaa 公司債 Baa 公司債 額外收益來源 期限溢酬 期限 + 信用（現時利差 1.16 pp） 期限 + 信用（現時利差 1.59 pp） 2008 年 9–10 月 1.26% −4.20% −12.55% 壓力傳導機制 避險需求、殖利率下降 利率下降與信用利差擴大拉鋸 信用利差擴大主導 組合中的首要工作 危機緩衝 收益與有限緩衝 收益，不當股市保險
壓力期總報酬以 r ≈ y₀/12 − D·Δy 重建，存續期間一律取 8；這是一階近似，用來識別方向與機制，不是精確指數報酬。
利差是最新殖利率減去同天期公債殖利率，只能當作當期信用風險的粗略價格，不是未來報酬保證。
閱讀順序是由上往下：先問額外收益從哪裡來，再看壓力期這項風險會不會和股票同時發作。
表 8-1 由收益來源一路讀到壓力傳導與組合工作：公債主要承擔期限風險，公司債另有信用風險。2008 年 9–10 月的重建報酬把機制具體化；額外殖利率不是免費午餐。 資料來源：公債殖利率：FRED 序列 GS5、GS10。公司債殖利率：Moody's Seasoned Aaa／Baa Corporate Bond Yield [AAA]、[BAA]，經 FRED（Federal Reserve Bank of St. Louis）取得。總報酬由殖利率與存續期間重建。 這個例子的教訓很深：標準差沒有捕捉到公司債的真正風險 。公司債的風險是「與股票在同一個時刻一起變壞」，也就是共變異數，而且是條件式的共變異數（平時低、危機時高）。用平均標準差比較兩者，會系統性地低估公司債。這是「用錯風險指標會導致錯誤決策」的教科書案例。