8　無風險資產、資本市場線與兩基金分離

現在加入一個報酬確定為 $r_f$、變異數為零的資產。把比例 α 放在某個風險組合 P、(1−α) 放在無風險資產：

這是一條直線，斜率就是夏普比率 $S_P = \frac{\mu_P - r_f}{\sigma_P}$。既然可以自由選 P，理性投資人會選讓斜率最大的那一點——也就是從 $(0, r_f)$ 出發、與效率前緣相切的那個組合，稱為切點組合（tangency portfolio）。這條直線就是資本市場線（CML）。

切點組合的權重可以直接解出。最大化 $S(\mathbf{w}) = \frac{\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\mu} - r_f}{\sqrt{\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}}}$，令梯度為零可得：

這個結果帶來托賓兩基金分離定理：所有投資人，不管風險偏好多不同，都應該持有同一個風險資產組合（切點組合），差別只在於他把多少錢放在無風險資產上。風險偏好只影響 α，不影響風險資產內部的比例。

8.1　風險趨避到底是什麼：把 α 解出來

兩基金分離定理說「風險偏好只影響 α」，但 α 到底該是多少？這需要一個效用函數。標準的做法是假設常數相對風險趨避（CRRA）：

請把這條式子與第 25.2 節的凱利公式 $k^* = \frac{\mu - r_f}{\sigma^2}$ 放在一起看：它們是同一條式子，只差一個 γ。凱利就是 γ = 1（對數效用）的特例——這也是為什麼凱利解對大多數人來說大得離譜：實證上一般人的 γ 落在 2 到 5 之間，所以合理的股票曝險本來就在 30–60% 這個區間。「半凱利」這個實務法則其實就是 γ = 2。

這個推導也把第 19 章的實務建議接上了理論：伯恩斯坦的「可忍受虧損 × 2 + 10%」看起來是一條拍腦袋的規則，但它實際上就是在問自己的 γ——只不過用「能看著帳戶跌多少而不賣」這個人類看得懂的問法，代替了「自己的相對風險趨避係數是多少」這種沒人答得出來的問題。

8.2　一個實務上的漂亮案例：該用公司債還是國庫債？

公司債的報酬比國庫債高，波動也高一點。看起來像是「多承擔一點風險換多一點報酬」的合理交易。但把它們各自與股票混合，畫出兩條前緣，會發現一件事：

標的	1976–2026 年化	2008 年 9–10 月	目前對 10 年期利差
10 年期公債（存續期間約 8）	6.23%	1.26%	—
穆迪 Aaa 級公司債（存續期間約 8）	7.54%	−4.20%	1.16%
穆迪 Baa 級公司債（存續期間約 8）	8.90%	−12.55%	1.59%
5 年期公債（存續期間約 4.5）	5.77%	2.36%	−0.27%

總報酬由殖利率與存續期間一階近似重建：r ≈ y₀/12 − D·Δy。忽略凸性與滾動下滑，因此長期年化會略低於實際指數。

FRED 上的 ICE BofA 債券總報酬指數目前只提供最近三年，無法用來做五十年的比較；改用這個可檢驗的近似法，並把公式寫出來。

重點不在小數點，而在最後兩欄的方向差異：長期而言公司債報酬較高，但在股票最痛的那兩個月裡它跟著跌，公債反而上漲。

這個例子的教訓很深：標準差沒有捕捉到公司債的真正風險。公司債的風險是「與股票在同一個時刻一起變壞」，也就是共變異數，而且是條件式的共變異數（平時低、危機時高）。用平均標準差比較兩者，會系統性地低估公司債。這是「用錯風險指標會導致錯誤決策」的教科書案例。