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全書目次

第二部　組合的數學

7　效率前緣的推導

作者：全書章節

馬可維茲問題：在給定目標期望報酬 μ0\mu_0 的前提下，找出變異數最小的權重。這是一個帶等式約束的二次規劃：

min⁡w12wTΣws.t.wTμ=μ0,wT1=1\min_{\mathbf{w}} \tfrac{1}{2}\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w} \qquad \text{s.t.} \quad \mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\mu} = \mu_0, \quad \mathbf{w}^{T}\mathbf{1} = 1

拉格朗日函數：L=12wTΣw−λ(wTμ−μ0)−γ(wT1−1)L = \tfrac{1}{2}\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w} - \lambda\left(\mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\mu} - \mu_0\right) - \gamma\left(\mathbf{w}^{T}\mathbf{1} - 1\right)

一階條件：∂L∂w=Σw−λμ−γ1=0\frac{\partial L}{\partial \mathbf{w}} = \boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w} - \lambda\boldsymbol{\mu} - \gamma\mathbf{1} = \mathbf{0}

故　w∗=Σ−1(λμ+γ1)\mathbf{w}^* = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\left(\lambda\boldsymbol{\mu} + \gamma\mathbf{1}\right)

把 w* 代回兩個約束，定義三個純量：

A=1TΣ−1μ,B=μTΣ−1μ,C=1TΣ−11,D=BC−A2A = \mathbf{1}^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}, \quad B = \boldsymbol{\mu}^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}, \quad C = \mathbf{1}^{T}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}, \quad D = BC - A^2
λ=Cμ0−AD,γ=B−Aμ0D\lambda = \frac{C\mu_0 - A}{D}, \qquad \gamma = \frac{B - A\mu_0}{D}

最小變異數：σp2=Cμ02−2Aμ0+BD\sigma_p^2 = \frac{C\mu_0^2 - 2A\mu_0 + B}{D}

這是一條以 μ0\mu_0 為變數的二次式，因此在 (σ2,μ)(\sigma^2, \mu) 平面上是拋物線，在 (σ,μ)(\sigma, \mu) 平面上是雙曲線的右支。它的頂點（全域最小變異組合）位於 μgmv=A/C,σgmv2=1/C\mu_{\text{gmv}} = A/C, \quad \sigma_{\text{gmv}}^2 = 1/C，對應權重 wgmv=Σ−11/C\mathbf{w}_{\text{gmv}} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}/C。上半支(μ0≥A/C)(\mu_0 \ge A/C)就是效率前緣：在相同風險下沒有更高報酬的組合。

大量隨機組合構成的可行區域與其左上緣（效率前緣）散點圖。每一點是一組隨機權重的組合，橫軸為標準差、縱軸為期望報酬。雲團的左上緣就是效率前緣：雲團內部的任何一點，都存在一個標準差更低或報酬更高的替代品。前緣線、最小變異點與被支配區域一併標示。7%8%9%10%11%12%13%10%12%14%16%18%效率前緣年化標準差年化期望報酬
圖 7-1九百組隨機權重構成的可行區域，其左上緣即效率前緣。雲團內部的任何組合，都存在一個風險更低或報酬更高的替代品；圖中同時標出前緣線與被支配的區域。資料來源：五個合成資產，參數由實測的股票與公債參數延伸。權重為可重現的偽隨機取樣（seed 20260820）。