推廣到 N 個資產。令 w 為 N×1 權重向量、μ 為期望報酬向量、Σ 為 N×N 共變異數矩陣( Σ i j = Cov ( R i , R j ) = ρ i j σ i σ j ) (\Sigma_{ij} = \operatorname{Cov}(R_i, R_j) = \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j) ( Σ ij = Cov ( R i , R j ) = ρ ij σ i σ j ) 1 為全 1 向量。則：
μ p = w T μ σ p 2 = w T Σ w w T 1 = 1 \mu_p = \mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\mu} \qquad \sigma_p^2 = \mathbf{w}^{T}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w} \qquad \mathbf{w}^{T}\mathbf{1} = 1 μ p = w T μ σ p 2 = w T Σ w w T 1 = 1 寫成純量形式更能看出結構：
σ p 2 = ∑ i w i 2 σ i 2 + ∑ i ∑ j ≠ i w i w j ρ i j σ i σ j \sigma_p^2 = \sum_{i} w_i^2\sigma_i^2 + \sum_{i}\sum_{j \ne i} w_i w_j \rho_{ij}\sigma_i\sigma_j σ p 2 = i ∑ w i 2 σ i 2 + i ∑ j = i ∑ w i w j ρ ij σ i σ j 左邊是 N 個變異數項，右邊是 N(N−1) 個共變異數項。當 N 變大，共變異數項的數量以 N² 成長，變異數項只以 N 成長——所以大組合的風險幾乎完全由資產之間的相關性決定，個股的波動幾乎無關緊要 。這是一個非常反直覺、但極其重要的事實。
6.1 估計負擔
要跑一次 N 資產的最佳化，需要 N 個期望報酬、N 個變異數、N ( N − 1 ) / 2 N(N-1)/2 N ( N − 1 ) /2 N ( N + 3 ) / 2 N(N+3)/2 N ( N + 3 ) /2
打個比方
這是巴別塔的問題。塔每往上疊一層，需要協調的工人就多一批，而語言的混亂不是線性增加的——資產每多一個，要估的參數以平方成長，但手上的歷史資料一筆都沒有變多。塔敗在再也沒有人聽得懂彼此在說什麼 ，高度只會把問題放大。所以第 17 章刻意少說幾種語言：收縮、設限、用因子結構取代逐一估計。
這個比喻在哪裡失真： 巴別塔是被外力打斷的，估計誤差卻是內生的，不加任何資產也一樣存在。而且塔的比喻暗示「小就安全」，這也不對：只持有兩三個資產的參數雖然好估，未分散的風險卻更大。問題出在 N 與資料量的比例，不能只怪 N 太大。
6.2 共變異數矩陣的內部結構
1,325 個參數聽起來絕望，但實際上股票報酬的相關矩陣有很強的結構：把它做主成分分解，頭一兩個主成分就吃掉絕大部分的變異 ，而那些主成分是認得出來的東西。這句話不必當成傳聞——手上就有可以直接算的資料。取十個依淨值市價比排序的十分位組合、一百年的月報酬，把它們的相關矩陣拆開：
十個淨值市價比十分位的相關矩陣，前兩個主成分的載荷 折線圖。橫軸是十個淨值市價比十分位，由成長端排到價值端；縱軸是主成分載荷。第一主成分解釋了 88.5% 的變異，十個載荷幾乎一樣高（0.30 到 0.32），它的分數與市場因子的相關係數是 0.98。第二主成分只解釋 5.2%，但載荷從一端單調走到另一端，與 HML 價值因子的相關係數絕對值是 0.85。 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 淨值市價比十分位（1 = 成長，10 = 價值） 載荷 Yu Lab · yulab.tw
圖 6-1 十個淨值市價比十分位的相關矩陣，做主成分分解。第一主成分吃掉 88.5% 的變異，十個載荷幾乎一樣——它就是「市場」，與市場因子的相關係數 0.98。第二主成分只有 5.2%，但它的載荷從一端單調走到另一端，與 HML 的相關係數絕對值 0.85——那就是價值。十個資產的共變異數矩陣有 45 個相關係數，真正的自由度只有兩、三個。 資料來源：Kenneth R. French Data Library — Portfolios Formed on BE-ME（值權月報酬十分位），減去同月無風險利率。 這張圖是怎麼做的 樣本是十個十分位組合，本身已經是分散組合，所以共同成分偏高；換成個股面板，第一主成分會低得多。特徵向量的正負號在數學上不定，這裡統一成「絕對值最大的載荷為正」，資料更新時符號才不會翻面。
第一主成分解釋 88.5% 的變異，十個載荷幾乎一樣高；把它的分數拿去跟市場因子比，相關係數 0.98。它就是市場，只是沒有人替它命名。 第二主成分只有 5.2%，但它的載荷從成長端單調走到價值端，與 HML 因子的相關係數絕對值 0.85——那就是價值。兩個成分加起來 93.7%。
換句話說，這十個資產的共變異數矩陣名目上有 45 個相關係數要估，真正的自由度只有兩三個 。這既是好消息也是壞消息：好消息是矩陣可以用很少的參數逼近（下面的單因子結構就是最粗的一種）；壞消息是把十個高度共動的東西擺在一起，並不會得到十份分散化 。這裡有一個要留意的邊界：十分位組合本身已經是分散組合，共同成分因此偏高；換成個股面板，第一主成分會低得多，但排序不會變。
還有一件事值得先記著：這種「主成分是有名字的」現象不是巧合，第 10 章的因子模型正是把它反過來用——既然矩陣的有效維度只有幾個，那就直接用那幾個維度來描述資產，而不是逐一估 45 個相關係數。
單因子結構（Sharpe 對角線模型）
假設 R i = α i + β i R M + ε i R_i = \alpha_i + \beta_i R_M + \varepsilon_i R i = α i + β i R M + ε i ε i \varepsilon_i ε i
Σ = σ M 2 β β T + D ( D 為對角矩陣 ) \boldsymbol{\Sigma} = \sigma_M^2\,\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{T} + \mathbf{D} \qquad (\mathbf{D} \text{ 為對角矩陣}) Σ = σ M 2 β β T + D ( D 為對角矩陣 ) 參數從 N ( N + 3 ) / 2 N(N+3)/2 N ( N + 3 ) /2 2 N + 1 2N+1 2 N + 1 101 。
這個做法就是第 17 章「收縮估計」的雛型：用一個有結構但可能有偏誤 的模型，去換一個無偏但雜訊巨大 的樣本矩陣。這是統計學裡最重要的交換之一（偏誤–變異數權衡），而它在投資裡的版本就是：寧可用一個粗糙但穩定的假設，也不要用一個精密但不穩定的估計。
這也反過來解釋了一件實務上很重要的事：為什麼「多買幾檔 ETF 就能分散」常常是幻覺。如果手上八檔 ETF 的 β 全部接近 1，那麼對角線模型說明：實際上只持有一個部位 ，只是付了八份管理費。