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全書目次

第二部　組合的數學

5　兩資產組合的期望值與變異數

作者：全書章節

設兩個資產 A、B，權重 w 與 1−w，期望報酬 μA\mu_{A}、μB\mu_{B}，標準差 σA\sigma_{A}、σB\sigma_{B}，相關係數 ρ。組合報酬 Rp=wRA+(1−w)RBR_p = wR_A + (1-w)R_B。

期望值是線性的，直接由期望值算子的線性性得到：

μp=wμA+(1−w)μB\mu_p = w\mu_A + (1-w)\mu_B

變異數則不是線性的，這正是整個理論的關鍵。展開定義：

σp2=E[(wRA+(1−w)RB−wμA−(1−w)μB)2]=E[(w(RA−μA)+(1−w)(RB−μB))2]=w2E[(RA−μA)2]+(1−w)2E[(RB−μB)2]+2w(1−w)E[(RA−μA)(RB−μB)]=w2σA2+(1−w)2σB2+2w(1−w)ρσAσB\begin{aligned}\sigma_p^2 &= \mathbb{E}\left[\left(wR_A + (1-w)R_B - w\mu_A - (1-w)\mu_B\right)^2\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\left(w(R_A-\mu_A) + (1-w)(R_B-\mu_B)\right)^2\right] \\ &= w^2\mathbb{E}\left[(R_A-\mu_A)^2\right] + (1-w)^2\mathbb{E}\left[(R_B-\mu_B)^2\right] + 2w(1-w)\mathbb{E}\left[(R_A-\mu_A)(R_B-\mu_B)\right] \\ &= w^2\sigma_A^2 + (1-w)^2\sigma_B^2 + 2w(1-w)\rho\sigma_A\sigma_B\end{aligned}

第三項是全部魔法的來源。當 ρ < 1 時，這一項小於「把兩個標準差直接加權平均」所應得的值，於是組合的標準差低於個別標準差的加權平均，而期望報酬卻剛好等於加權平均。憑空得到了風險的減少。這就是馬可維茲說的「分散化是投資裡唯一的免費午餐」。

5.1　三個極端情形

ρσp\sigma_p意義
+1wσA+(1−w)σBw\sigma_A + (1-w)\sigma_B完全沒有分散效果，前緣是一條直線
0w2σA2+(1−w)2σB2\sqrt{w^2\sigma_A^2 + (1-w)^2\sigma_B^2}前緣向左彎，出現最小變異點
−1∣wσA−(1−w)σB∣\left|w\sigma_A - (1-w)\sigma_B\right|存在權重使風險為零（理論極限）

5.2　最小變異權重的推導

對 σp2\sigma_{p}^2 關於 w 微分並令其為零：

dσp2dw=2wσA2−2(1−w)σB2+2(1−2w)ρσAσB=0w∗=σB2−ρσAσBσA2+σB2−2ρσAσB\begin{aligned}\frac{d\sigma_p^2}{dw} = 2w\sigma_A^2 - 2(1-w)\sigma_B^2 + 2(1-2w)\rho\sigma_A\sigma_B = 0 \\ w^* = \frac{\sigma_B^2 - \rho\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\rho\sigma_A\sigma_B}\end{aligned}

二階導數 2(σA2+σB2−2ρσAσB)2(\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\rho\sigma_A\sigma_B) 恆為正（只要 ρ < 1），所以這是極小值。注意 w* 完全不依賴期望報酬——這一點在第 16 章談穩健方法時會變得非常重要：最小變異組合只需要估計共變異數，不需要估計期望報酬，而後者恰好是最難估的東西。

5.3　看得見的效率前緣

把美國全市場股票與中期國庫債券以不同比例混合，畫出（標準差, 年化報酬）的軌跡，就是下面這條曲線。它向左凸出——這個凸出的部分就是分散化的價值。

股票與公債兩資產組合的風險—報酬軌跡折線圖。橫軸為年化標準差，縱軸為年化期望報酬。曲線是股票與十年期公債從 0% 到 100% 的所有組合。最小變異點落在股票 24%，標準差 8.9%。從 100% 公債（標準差 10.2%、報酬 5.3%）往右走到股票 15%，報酬升到 6.5% 而標準差只變成 9.1%——這幾步是分散化的第一口免費午餐。6%8%10%12%0%2%4%6%8%10%12%14%16%18%20%100% 公債25/7550/5075/25100% 股票最小變異　股票 24%年化標準差年化期望報酬
圖 5-1股票／十年期公債組合的風險—報酬軌跡，參數由 1954–2025 年的實測值估出：股票 μ=12.9%、σ=17.7%；公債 μ=5.3%、σ=10.2%；ρ=0.03。注意從 100% 公債往右走的頭幾步：報酬上升而風險幾乎沒增加。資料來源：Kenneth R. French Data Library（股票）與 FRED GS10（公債，以存續期間重建總報酬）。曲線由 §5.1 的公式直接產生。
方法與判斷

與 §5.2 的最小變異權重推導共用同一組參數，公式與圖不會各說各話。

曲線最左端不是 100% 債券，而是大約 90/10 的債券／股票組合。加入一點股票竟然讓整體風險下降，這是 ρ < 1 的直接後果，也是很多人第一次看到時不敢相信的結果。

下面這個模型把第 5 章的兩條公式與第 8 章的切點組合一起畫出來。它是全書最值得花時間玩的一個——二、四、六三部的一大半結論都可以在上面看到：

對應 §5.3